Rational Points on Elliptic Curves (Undergraduate Texts in Mathematics)

"Rational Points on Elliptic Curves" von John Tate und Joseph H. Silverman ist ein Lehrbuch aus der Reihe "Undergraduate Texts in Mathematics", das sich mit der Theorie elliptischer Kurven befasst. Das Buch bietet eine Einführung in die grundlegenden Konzepte und Methoden zur Untersuchung rationaler Punkte auf elliptischen Kurven, die sowohl für Mathematikstudierende als auch für interessierte Leser ohne tiefgehende Vorkenntnisse zugänglich ist. Die Autoren beginnen mit einer Einführung in die algebraische Geometrie und Zahlentheorie, um die notwendigen Grundlagen zu schaffen. Sie behandeln Themen wie die Definition elliptischer Kurven, ihre Darstellung in Weierstraß-Form und grundlegende Eigenschaften. Ein zentrales Thema des Buches ist das Gruppengesetz, das es ermöglicht, aus bekannten rationalen Punkten neue zu konstruieren. Im weiteren Verlauf werden tiefergehende Konzepte behandelt, darunter der Satz von Mordell-Weil über die Endlichkeit der Torsionsuntergruppe und die Struktur der Gruppe der rationalen Punkte auf einer elliptischen Kurve. Das Buch enthält zudem zahlreiche Beispiele und Übungen, die den Lesern helfen sollen, ein tieferes Verständnis für die Materie zu entwickeln. Insgesamt bietet "Rational Points on Elliptic Curves" eine umfassende Einführung in ein faszinierendes Gebiet der Mathematik, das sowohl theoretische als auch praktische Anwendungen hat, insbesondere im Bereich der Kryptographie.